Nous sommes au VIe siècle avant JC, près de la ville de Milet en Ionie, sur les bords de la mer Égée. Thalès, fils d’Examyas et de Cléobuline, déambule à travers la campagne; une servante marche à ses cotés. Tout en avançant, Thalès scrute le ciel pour y découvrir les secrets des astres. La jeune servante qui l’accompagne aperçoit soudain un grand trou au milieu du chemin. Elle l’évite, mais Thalès, tout à ses réflexions et observations, tombe dedans.
– « Tu ne vois pas ce qui est à tes pieds, et tu crois pouvoir connaître ce qui se passe dans le ciel! » lui lançât-elle en l’aidant à sortir du trou?
Comme tous les élèves du monde, vous avez surement croisé Thalès à plusieurs reprises. Mais le plus souvent sous forme d’un théorème. En cours de math, on parle rarement des personnes. Parfois un nom tombe : Thalès, Pythagore, Pascal, Descartes, mais il reste un nom, sans réelle signification. Les théorèmes et les démonstrations arrivent comme ça : sans lieu, sans créateur, sans époque et sans contexte.
Géniorama vous propose à travers une série d’articles une petite Histoire non exhaustive des Mathématiques, jalonnée par des hommes, leur vie, et ces petites histoires qui écrivent la Grande.
Thalès de Milet
Nous commencerons donc notre histoire par Thalès ! Bien sûr, avant les Grecs, il y avait déjà des mathématiciens. On trouve sur le Papyrus de Rhind (découvert au XIXe siècle dans le temple mortuaire de Ramsès II, à Thèbes, acheté puis emporté en Angleterre par Alexander Rhind) des dizaines d’exposés de toutes sortes. Daté du milieu du XIVe siècle avant JC, et rédigé par un certain Ahmès, scribe, le papyrus indique qu’il va présenter « les règles pour scruter la nature et pour connaître tout ce qui existe ». On y trouve des problèmes mathématiques appliqués à des situation pratiques (partage de pain entre des nombres d’hommes?) mais aussi des problèmes plus pointus comme la quadrature du cercle et le calcul du nombre ?, où il trouve 3,16, soit une erreur de 0,5%. On trouve aussi de plus anciennes traces de mathématiques en Chine, dans les cultures aztèques et Mayas?
Mais ce qui naquit avec Thalès, au VIe siècle avant notre ère, était le premier « penseur occidental ». Non pas qu’avant lui personne n’avait jamais pensé; il y avait des mages, des scribes, des prêtres, des comptables, des conteurs, pour raconter, réciter, faire des calculs, prédire? Mais Thalès, lui, a fait tout autre chose : il s’est posé des questions. Des questions comme – qu’est ce que penser ? – De quoi est faite la nature ? – Ce que je pense diffère-t-il de ce qui est ?
Philosophie ! Répondront certains. En effet. Mais au VIe siècle avant JC, la philosophie et les mathématiques étaient une seule et même discipline. D’ailleurs, ces mots même n’existaient pas. Ils furent inventés bien plus tard, et se séparèrent plus tard encore.Alors qu’à Sarde, la capitale de l’empire de Lydie, règne le fils du roi Gugu, en Ionie toute proche, aucun roi ne règne sur Milet. La ville est une des premières citées états. Une ville libre ! Thalès y est né aux alentours de -625. On lui doit la célèbre formule « Connais-toi toi-même (et tu connaitras l’univers et les dieux) ». Il fût l’un des 7 sages de la Grèce antique et fût l’un des premiers à énoncer des généralités sur les objets mathématiques.
La formule de Thalès Connais-toi toi-même
Il ne s’est pas beaucoup occupé de nombres, mais s’est intéressé principalement aux objets géométriques, comme les triangles, les cercles et les droites. Il fût le premier à considérer l’angle comme un être géométrique à part entière. Il en fît la quatrième grandeur géométrique, rejoignant le trio déjà en place : longueur, surface, volume.Il montra tout d’abord que les deux angles opposés par le sommet, formés par deux droites qui se coupent sont égaux. Il montra plus tard qu’à chaque triangle, on pouvait faire correspondre un cercle, et un seul qui passe par ses sommets. Le cercle circonscrit, dont il a proposé une construction générale.
Ainsi, Thalès montrait les liens indicibles qui lient les différents objets : 3 points non alignés définissent un triangle, mais aussi un cercle, et un seul, ce qui relie entre eux ces objets que sont le cercle et le triangle. Dans un triangle isocèles, (deux cotés/longueurs égaux) se trouvent deux angles égaux?etc.
Prenons par exemple le lien indicible que Thalès établit entre la droite et le cercle : soit la droite coupe le cercle, soit elle ne le coupe pas, soit elle le frôle. Si elle le coupe, elle le sépare en deux parties. Pour que ces 2 parties soient égalent, la droite doit passer par le centre du cercle. Le segment défini est alors le plus grand possible, c’est un diamètre. Ce diamètre permet donc de définir le cercle.
À aucun moment Thales ne parle de mesure, de nombres, ni de valeurs. Contrairement à ses prédécesseurs Egyptiens ou babyloniens, son but est d’énoncer des vérités pour une classe entière d’être, une classe comprenant une infinité d’objets. Des vérités pour une infinité d’objets du monde ! Une telle ambition est d’une nouveauté absolue.
Pour y arriver, Thales va, par sa seule pensée, concevoir un « idéal ». « LE cercle », qui est en quelque sorte le représentant de tous les cercles du monde, grâce auquel il va pouvoir exprimer des vérités concernant la nature même « d’être cercle ».
C’était une toute nouvelle façon de concevoir les choses. Une tournure de phrase telle que « toute droite passant par le centre d’un cercle le coupe en deux parties égales » était une telle nouveauté que l’on a peine à imaginer aujourd’hui la révolution que se fût alors.
Le voyage en Egypte
C’est pour l’Egypte que Thalès s’embarqua, quittant pour la première fois la terre d’Ionie où jusqu’alors il avait vécu. Sur les côtes Egyptiennes, il changea d’embarcation pour un bateau plus petit afin de remonter le Nil.
Après plusieurs jours de voyage, il les aperçut, dressée sur un plateau non loin de la rive : Khéops, Khephren, et Mykérinos ! Thalès n’avait jamais rien vu d’aussi impressionnant de sa vie. Les dimensions des pyramides dépassaient tout ce qu’il avait pu imaginer. A mesure qu’il s’approchait, sa marche se fit plus lente, comme si le monument, par sa seule masse, parvenait à ralentir ses pas. Il fini par s’asseoir, à bonne distance, pour contempler. Cette pyramide avait été dressée par le Pharaon dans le seul but de faire sentir aux hommes leur petitesse. Plus grande elle serait, plus infimes nous serions. Il était parvenu à nous contraindre d’admettre qu’entre les hommes et cette pyramide, il n’y avait aucune commune mesure.
Et en effet, bien que construite par les hommes, la hauteur de la pyramide de Khéops restait impossible à mesurer. Ce monument défiait les hommes depuis 2000 ans. Thales releva le défi, et se jura alors que si sa main ne pouvait pas le faire, sa pensée parviendrait à mesurer l’édifice. Il resta toute la nuit au pied de la pyramide, à réfléchir. Au petit matin les rayons du soleil percèrent l’horizon. Thales se leva, et contempla son ombre gigantesque. Il devait se trouver un allié à la hauteur de son adversaire. Son regard alla de son ombre à celle de la pyramide. Les deux ombres rapetissaient tandis que le soleil montait dans le ciel. Il venait de trouver son allié.
Que ce soit l’Hélios des grecs ou le Râ des Egyptiens, le soleil ne fait aucune différence entre les choses. Il les traite de la même façon, rendant possible la mesure commune.
« Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretien avec la sienne » se dit Thalès. Ainsi, à l’instant où mon ombre est égale à ma taille, l’ombre de la pyramide est égale à sa hauteur !
Thalès traça au sol un cercle de diamètre égal à sa taille et se plaça au centre. Un collaborateur attendait près de la pyramide. A l’instant où l’ombre de Thales eu atteint le cercle, l’associé planta un pieu à l’extrémité de l’ombre de la pyramide. Il ne restait plus qu’à mesurer au sol la distance entre le pieu et le centre de la pyramide.
Thales avait réussi à mesurer le lointain, le vertical, l’inaccessible, par le proche, l’horizontal, l’accessible? Ce fut le début de sa réflexion sur les proportions et les formes.
Comme il établit que « toutes formes semblables avaient les mêmes proportions », il devait aboutir à son célèbre théorème des proportions, enseigné aujourd’hui encore.