Algorithme d’Euclide et son domaine de travaille

Algorithme d’Euclide et son domaine de travaille

Un jour que le roi Ptolémée visitait la Bibliothèque, il s’arrêta et passa sa main sur les rayonnages où se trouvaient les nombreux rouleaux des Eléments. Il se retourna alors vers Euclide et lui demanda s’il n’y avait pas une voie plus courte que celle-ci pour entrer dans le monde des mathématiques.

qui est euclide

Euclide lui répondit « En géométrie, il n’y a pas de chemin réservé aux rois » Il lui aura fallu du courage pour répondre ainsi ! Le roi ne lui en tint pas rigueur.Mais revenons aux mathématiques ! Un des pensionnaires les plus célèbre du Muséum, fût le mathématicien Euclide. Homme rigoureux, de forte prestance et un peu austère, il livra au monde l’eouvre d’une vie : 13 volumes intitulés « Eléments« .

Un soir, alors qu’il venait d’enseigner un théorème à un élève, fils d’une famille de l’aristocratie alexandrine, celui-ci lui demanda quels profits il allait pouvoir en retirer. Euclide appela un esclave, et s’adressa à lui en ces termes, montrant du doigt le jeune élève : « Donne-lui 3 oboles, puisqu’il lui faut absolument retirer un bénéfice de ce qu’il vient d’apprendre ».

Pour Euclide, les mathématiques étaient une porte vers une connaissance essentielle du monde. Pour en franchir le seuil et commencer à parcourir le chemin qui s’étendait derrière, il ne fallait être ni pressé, ni cupide, fussiez-vous Roi.

Les éléments d’Euclide forment 13 volumes, numérotés de I à XIII, comme pour nous informer qu’ils forment un tout, mais que le contenu de ce tout se déploie suivant un ordre précis.

L’algorithme d’euclide

La méthode d’Euclide a consisté à baser ses travaux sur des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes), et des propositions (problèmes résolus). Par exemple, le livre I contient 35 définitions (un point est ce dont il n’y a aucune partie, une ligne est une longueur sans largeur, etc.), cinq postulats (Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques, Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite, etc.) et cinq notions ordinaires (Des choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles, le tout est plus grand que la partie, etc.)Cette ?uvre colossale est, après la bible, celle qui a eu le plus grand nombre d’éditions, plus de 800 à ce jour. Le succès des Éléments est dû principalement à la présentation logique de la quasi-totalité du savoir mathématique dont Euclide disposait. L’utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d’un jeu réduit d’axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.

Le livre I définit les objets de base : le point, la ligne, les angles, les surfaces? Et les cas particuliers (droites parallèles, angle droits, cercle, triangles?) et se termine par une référence : le Théorème de Pythagore.

Les acteurs étant définis, Euclide opère avec eux : séparation d’un angle en deux, calcul des aires? Ainsi, les 4 premiers livres s’occupent de géométrie plane.

Le livre V est parmi les plus importants, c’est le livre des proportions. Euclide cherche là a établir un rapport entre deux grandeurs, quelles soient géométriques, où arithmétiques.

Alors que les Pythagoriciens ne pouvaient envisager un rapport entre deux grandeurs incommensurables, Euclide les englobe dans sa théorie des proportions. Révolutionnaire à l’époque !

Le livre X, le livre des irrationnels, distance encore plus les Pythagoriciens. Alors que ceux-ci étaient resté coincés à la racine carrée de 2, Euclide définit les incommensurables, et démontre l’irrationalité des racines carrées des entiers jusqu’à 17. (Sauf pour 1, 4, 9 et 16, qui sont des carrés parfaits bien sûr).

Enfin, le livre XIII est le couronnement de l’?uvre entière qui abouti à la construction des 5 polyèdres réguliers inscriptibles dans la sphère : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre, et l’icosaèdre.

Les solides de Platon

Autant dire que les cerveaux grecs se sont échauffés sur ce constat. Pour Platon, il y en a 5 car il y a 5 éléments fondamentaux dans le cosmos (l’eau, l’air, la terre, le feu et l’esprit, la quintessence). Chaque polyèdre étant là, pour symboliser dans sa perfection chaque élément. Les 5, ensemble, participant de la création du monde et en figurant l’absolue harmonie.Ce qu’il y a d’exceptionnel avec ces polyèdres, c’est qu’ils ne sont que 5. Dans l’infinité des polyèdres, seul 5 sont réguliers. Alors que les groupes d’objets mathématiques sont en général définit ainsi : soit il y en a aucun, soit un seul, soit une infinité, ceux-ci sont au nombre fini de 5 !

Ainsi, aujourd’hui encore, les 5 polyèdres réguliers sont connus sous le nom de « Solides de Platon ».

La vie au Muséum

Les rois se suivirent ainsi que les prestigieux pensionnaires du Muséum. On notera Apollonios, qui vécut à Alexandrie au IIIe siècle avant notre ère. Il inventa le nom des coniques, dont l’interaction avec un plan permit de découvrir de nouvelles formes : les ellipses, les hyperboles, et les paraboles, qui détrônèrent le cercle dans bien des phénomènes naturels (courbe définie par un boulet de canon, trajectoire des planètes autours du soleil?). Le monde harmonieux et idéal des pythagoriciens se délitait toujours un peu plus devant le constat que tout ne se plaçait pas suivant des sphères, des cercles et des droites? Sur les 8 livres que comptaient « les coniques » d’Apollonios, seuls 7 furent retrouvés.

Au IIe siècle avant notre ère, il y eu Hipparque, le précurseur de la trigonométrie. Premier à diviser le cercle en 360°. Astronome de talent, il parvint, grâce à une observation minutieuse des astres et un énorme travail à établir des tables de cordes, qui serviront longtemps d’outils mathématiques en astronomie. Grâce à ses tables, il découvrit que l’axe de la terre n’était pas fixe : il se déplaçait le long d’un cercle pour revenir dans la même position tous les 26000 ans : c’est la précession des équinoxes.

 

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