Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateurs

RTEmagicC pytha.jpg 256x300 Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateursNous sommes au VIe siècle avant JC, près de la ville de Milet en Ionie, sur les bords de la mer Égée. Thalès, fils d’Examyas et de Cléobuline, déambule à travers la campagne; une servante marche à ses cotés. Tout en avançant, Thalès scrute le ciel pour y découvrir les secrets des astres. La jeune servante qui l’accompagne aperçoit soudain un grand trou au milieu du chemin. Elle l’évite, mais Thalès, tout à ses réflexions et observations, tombe dedans.

- « Tu ne vois pas ce qui est à tes pieds, et tu crois pouvoir connaître ce qui se passe dans le ciel! » lui lançât-elle en l’aidant à sortir du trou…

Comme tous les élèves du monde, vous avez surement croisé Thalès à plusieurs reprises. Mais le plus souvent sous forme d’un théorème. En cours de math, on parle rarement des personnes. Parfois un nom tombe : Thalès, Pythagore, Pascal, Descartes, mais il reste un nom, sans réelle signification. Les théorèmes et les démonstrations arrivent comme ça : sans lieu, sans créateur, sans époque et sans contexte.

Géniorama vous propose à travers une série d’articles une petite Histoire non exhaustive des Mathématiques, jalonnée par des hommes, leur vie, et ces petites histoires qui écrivent la Grande.

Thalès de Milet

Thales 1 150x150 Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateursNous commencerons donc notre histoire par Thalès ! Bien sûr, avant les Grecs, il y avait déjà des mathématiciens. On trouve sur le Papyrus de Rhind (découvert au XIXe siècle dans le temple mortuaire de Ramsès II, à Thèbes, acheté puis emporté en Angleterre par Alexander Rhind) des dizaines d’exposés de toutes sortes. Daté du milieu du XIVe siècle avant JC, et rédigé par un certain Ahmès, scribe, le papyrus indique qu’il va présenter « les règles pour scruter la nature et pour connaître tout ce qui existe ». On y trouve des problèmes mathématiques appliqués à des situation pratiques (partage de pain entre des nombres d’hommes…) mais aussi des problèmes plus pointus comme la quadrature du cercle et le calcul du nombre π, où il trouve 3,16, soit une erreur de 0,5%. On trouve aussi de plus anciennes traces de mathématiques en Chine, dans les cultures aztèques et Mayas…

Mais ce qui naquit avec Thalès, au VIe siècle avant notre ère, était le premier « penseur occidental ». Non pas qu’avant lui personne n’avait jamais pensé; il y avait des mages, des scribes, des prêtres, des comptables, des conteurs, pour raconter, réciter, faire des calculs, prédire… Mais Thalès, lui, a fait tout autre chose : il s’est posé des questions. Des questions comme – qu’est ce que penser ? – De quoi est faite la nature ? – Ce que je pense diffère-t-il de ce qui est ?

Philosophie ! Répondront certains. En effet. Mais au VIe siècle avant JC, la philosophie et les mathématiques étaient une seule et même discipline. D’ailleurs, ces mots même n’existaient pas. Ils furent inventés bien plus tard, et se séparèrent plus tard encore.

Alors qu’à Sarde, la capitale de l’empire de Lydie, règne le fils du roi Gugu, en Ionie toute proche, aucun roi ne règne sur Milet. La ville est une des premières citées états. Une ville libre ! Thalès y est né aux alentours de -625. On lui doit la célèbre formule « Connais-toi toi-même (et tu connaitras l’univers et les dieux) ». Il fût l’un des 7 sages de la Grèce antique et fût l’un des premiers à énoncer des généralités sur les objets mathématiques.

Exemple Thalès contraposée 150x150 Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateursIl ne s’est pas beaucoup occupé de nombres, mais s’est intéressé principalement aux objets géométriques, comme les triangles, les cercles et les droites. Il fût le premier à considérer l’angle comme un être géométrique à part entière. Il en fît la quatrième grandeur géométrique, rejoignant le trio déjà en place : longueur, surface, volume.

Il montra tout d’abord que les deux angles opposés par le sommet, formés par deux droites qui se coupent sont égaux.

Il montra plus tard qu’à chaque triangle, on pouvait faire correspondre un cercle, et un seul qui passe par ses sommets. Le cercle circonscrit, dont il a proposé une construction générale.

Ainsi, Thalès montrait les liens indicibles qui lient les différents objets : 3 points non alignés définissent un triangle, mais aussi un cercle, et un seul, ce qui relie entre eux ces objets que sont le cercle et le triangle. Dans un triangle isocèles, (deux cotés/longueurs égaux) se trouvent deux angles égaux…etc.

220px Thales Theorem Simple.svg  150x150 Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateursPrenons par exemple le lien indicible que Thalès établit entre la droite et le cercle : soit la droite coupe le cercle, soit elle ne le coupe pas, soit elle le frôle. Si elle le coupe, elle le sépare en deux parties. Pour que ces 2 parties soient égalent, la droite doit passer par le centre du cercle. Le segment défini est alors le plus grand possible, c’est un diamètre. Ce diamètre permet donc de définir le cercle.

À aucun moment Thales ne parle de mesure, de nombres, ni de valeurs. Contrairement à ses prédécesseurs Egyptiens ou babyloniens, son but est d’énoncer des vérités pour une classe entière d’être, une classe comprenant une infinité d’objets. Des vérités pour une infinité d’objets du monde ! Une telle ambition est d’une nouveauté absolue.

Pour y arriver, Thales va, par sa seule pensée, concevoir un « idéal ». « LE cercle », qui est en quelque sorte le représentant de tous les cercles du monde, grâce auquel il va pouvoir exprimer des vérités concernant la nature même « d’être cercle ».

C’était une toute nouvelle façon de concevoir les choses. Une tournure de phrase telle que « toute droite passant par le centre d’un cercle le coupe en deux parties égales » était une telle nouveauté que l’on a peine à imaginer aujourd’hui la révolution que se fût alors.

Le voyage en Egypte

C’est pour l’Egypte que Thalès s’embarqua, quittant pour la première fois la terre d’Ionie où jusqu’alors il avait vécu. Sur les côtes Egyptiennes, il changea d’embarcation pour un bateau plus petit  afin de remonter le Nil.

00219b82a3910e55995512 300x162 Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateursAprès plusieurs jours de voyage, il les aperçut, dressée sur un plateau non loin de la rive : Khéops, Khephren, et Mykérinos ! Thalès n’avait jamais rien vu d’aussi impressionnant de sa vie. Les dimensions des pyramides dépassaient tout ce qu’il avait pu imaginer. A mesure qu’il s’approchait, sa marche se fit plus lente, comme si le monument, par sa seule masse, parvenait à ralentir ses pas. Il fini par s’asseoir, à bonne distance, pour contempler.

Cette pyramide avait été dressée par le Pharaon dans le seul but de faire sentir aux hommes leur petitesse. Plus grande elle serait, plus infimes nous serions. Il était parvenu à nous contraindre d’admettre qu’entre les hommes et cette pyramide, il n’y avait aucune commune mesure.

Et en effet, bien que construite par les hommes, la hauteur de la pyramide de Khéops restait impossible à mesurer. Ce monument défiait les hommes depuis 2000 ans.

Thales releva le défi, et se jura alors que si sa main ne pouvait pas le faire, sa pensée parviendrait à mesurer l’édifice. Il resta toute la nuit au pied de la pyramide, à réfléchir.

Au petit matin les rayons du soleil percèrent l’horizon. Thales se leva, et contempla son ombre gigantesque. Il devait se trouver un allié à la hauteur de son adversaire. Son regard alla de son ombre à celle de la pyramide. Les deux ombres rapetissaient tandis que le soleil montait dans le ciel. Il venait de trouver son allié.

Que ce soit l’Hélios des grecs ou le Râ des Egyptiens, le soleil ne fait aucune différence entre les choses. Il les traite de la même façon, rendant possible la mesure commune.

pyramide 150x150 Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateurs« Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretien avec la sienne » se dit Thalès. Ainsi, à l’instant où mon ombre est égale à ma taille, l’ombre de la pyramide est égale à sa hauteur !

Thalès traça au sol un cercle de diamètre égal à sa taille et se plaça au centre. Un collaborateur attendait près de la pyramide. A l’instant où l’ombre de Thales eu atteint le cercle, l’associé planta un pieu à l’extrémité de l’ombre de la pyramide. Il ne restait plus qu’à mesurer au sol la distance entre le pieu et le centre de la pyramide.

Thales avait réussi à mesurer le lointain, le vertical, l’inaccessible, par le proche, l’horizontal, l’accessible… Ce fut le début de sa réflexion sur les proportions et les formes.

Comme il établit que « toutes formes semblables avaient les mêmes proportions », il devait aboutir à son célèbre théorème des proportions, enseigné aujourd’hui encore.

Pythagore et l’école pythagoricienne

 Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateursPythagore est un contemporain de Thalès, et comme pour ce dernier, on ne dispose d’aucune œuvre écrite de sa main. On sait qu’il est né dans l’île de Samos au milieu de la mer Égée et qu’il est mort à Crotone, dans l’extrême sud de l’Italie, au VIe siècle avant notre ère.

À l’âge de 18 ans, Pythagore participa aux jeux olympiques, et remporta toutes les épreuves de pugilat. Après sa victoire, il décida de voyager. Il allât en Ionie, toute proche, et rencontra Thales, avec qui il passa quelques années. Puis il se rendit en Syrie où il séjourna auprès des sages phéniciens qui l’initièrent aux mystères de Byblos. Il séjourna ensuite au mont Carmel (le Liban actuel) d’où il embarqua pour l’Egypte, où il devait séjourner 20 ans.

Dans les temples des rives du Nil, il acquit tout le savoir initiatique des prêtres Egyptiens. Il rapportera d’Egypte entre autre le pentagramme, qui deviendra l’emblème de son école, et la théorie des nombres.

Et voilà que les Perses envahirent le pays. Pythagore est alors fait prisonnier, et est emmené à Babylone. Il y restera plus de douze ans, et acquiert dans la capitale mésopotamienne tout le savoir des scribes et des mages.

Après 40 ans d’absence, Il retourne à Samos.

Mais à Samos régnait Polycrate le tyran, et Pythagore, plein de raison et de sagesse, haïssait les tyrans. Alors il repartit. Cette fois vers l’ouest, sur les côtes de la grande Grèce. Il débarqua à Sybaris, au sud de l’Italie, connue comme la citée de tous les plaisirs.

L’école de Pythagore

C’est dans la citée voisine de Crotone que Pythagore s’installa pour y fonder son école. L’école Pythagoricienne dura près de 150 ans et ne compta que 218 membres exactement. Parmi eux il y eu, forcements, de célèbres mathématiciens : Hippocrate de Chios, Théodore de Cyrène, Philolaos, Archytas de Tarente, et Hippase notamment.

 

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Pythagore voyait des nombres partout, et avait avec eux un rapport mystique profond. Il proposa ainsi une véritable vision mathématique du monde. A commencer par la musique. Il décrivit les accords harmoniques comme des rapports de nombre. (l’octave 1/2, la quinte 2/3…). Ainsi des rapports numériques pouvaient-ils rendre compte de l’harmonie. La gamme, et donc la musique devenaient mathématiques. Mais les pythagoriciens allaient plus loin, et étendaient la notion d’Harmonie à tout ce qui est. Ils voyaient la musique du monde dans tout ce qui existe, et les rapports numériques également. Ils parlèrent ainsi de l’harmonie des sphères, pour expliquer l’organisation de l’univers, et inventèrent un mot : Le COSMOS, l’ordre et la beauté (numérique bien sûr) qui s’oppose au CHAOS dans l’acte de création.

Pour donner à la Nature un fondement numériques, les Pythagoricien avaient pour quête d’étudier les nombres dans leur essence. Ce faisant, il donnèrent naissance à l’arithmétique, la science des nombres. Ce sont les premiers à établir des groupes qui nous paraissent aujourd’hui évidents comme les nombres pairs et impairs.

Pour devenir membre de l’école de Pythagore, Pythagore testait les candidats, appelés acousmaticiens. Un maître se tenait derrière un rideau, de manière que les postulants l’entendent mais ne le voient pas. Ces derniers devaient écouter, et jurer de garder pour eux ce qu’ils avaient entendu. S’ils ne parvenaient pas à tenir leur langue, ils étaient expulsés. L’épreuve durait 5 ans. Ce qui explique que seulement 218 membres passèrent de l’autre coté du rideau, en 150 ans…

La connaissance se transmettait ainsi, oralement. Les acousmaticiens recevaient les résultats sans les démonstrations, les initiés (les mathématiciens) recevaient les résultats et les démonstrations, qui avaient bien plus de valeurs que les résultats seuls. Cette transmission orale imposait un travail colossal sur la mémoire.

Les candidats qui postulaient devaient donner tous leurs biens à la communauté. S’il était expulsé de l’école, il se voyaient remettre le double de ce qu’il avait déposé en entrant, car on lui remettait en argent ce qu’il n’avait pas su prendre en savoir. On lui creusait également un tombeau scellant sa mort symbolique.

Les Pythagoriciens

 Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateurs

L'hymne des Pythagoriciens au soleil levant - Tableau de Fédor Bronnikov (1869)

Hippase fut l’un des premiers membres de l’école. Il s’occupait des acousmaticiens, les candidats à l’initiation, qui n’avaient le droit que d’écouter et étaient réduits au silence, tandis que Pythagore s’occupaient des mathématiciens, les initiés. Il inventa la moyenne harmonique (« le premier dépasse le deuxième d’une fraction de lui-même, tandis que le deuxième dépasse le troisième de la même fraction du troisième ») énonçant ainsi le troisième rapport de médiété possible entre 3 nombres.

Hippocrate de Chios avait commencé comme négociant maritime. Au cours d’un voyage, il se fit escroquer tout son argent. Ruiné, il échouât à Crotone et ne trouva qu’une chose à faire : devenir mathématicien. Il devint un très grand géomètre, et le premier à résoudre la quadrature d’une figure courbe : le croissant de lune… Intégré à l’école de Pythagore suite à une ruine, il en fut renvoyé pour avoir touché de l’argent en échange d’une démonstration de géométrie !

Autre pythagoricien célèbre, Archytas de Tarente est tenu pour l’inventeur du nombre 1.

Il résidait en la ville de Tarente, située juste en face de Crotone. Et avant lui, les mathématiques grecques ignoraient le 1 en tant que nombre. Pour les grecs, le un avait rapport avec l’existence et non la quantité. Le « un » était donc une notion philosophique, (un et les autres, un est ce qui est…) mais les nombres commençaient à 2. Archytas avait dépouillé le 1 de sa singularité, et en avait fait un nombre comme les autres. Il avait une autre particularité : il est le premier ingénieur. Il appliquait ses principes mathématiques à la matière. Il construisit ainsi un oiseau mécanique qui volait de ses propres ailes. Enfin, il fut le premier tagueur de l’histoire. En effet, il détestait prononcer des gros mots. Un jour qu’il était en colère dans un débat sur la place publique, il tournât brusquement le dos à ses interlocuteurs, et écrivit sur le mur le mot qu’il refusait de prononcer.

La fin de l’école de Pythagore

Il y avait dans la ville de Crotone un habitant très riche et très puissant : Cylon. Il désirait ardemment être intégré dans l’école de Pythagore, mais à chaque fois, sa demande était rejetée. Cylon décida alors de se venger. Les membres de l’école se réunissaient régulièrement dans une grande demeure pour délibérer des affaires en cours. Cylon et ses amis s’approchèrent et mirent le feu à la demeure. Tous les pythagoriciens périrent brulés, sauf un.

Le survivant se nommait Philolaos. Il fut le premier penseur à oser déloger la terre du centre du monde, proposant 2000 ans avant Galilée, un système de planètes dont la terre, tournant autour d’une boule de feu, le soleil. L’histoire ne dit pas s’il avait conceptualisé son système avant ou après l’incendie.

Avec les Pythagoriciens, les mathématiques se sont ouvertes à la musique, à la mécanique. Leur vision mystique ne les a pas empêchés de fonder l’arithmétique. C’est à eux que l’on doit les premières vraies démonstrations de l’histoire.

Quid du théorème ?

Mais au fait, nous n’avons pas parlé du fameux Théorème de Pythagore. Peut-être est-ce là une des plus grande supercherie de l’histoire des mathématiques ! On peut considérer en effet, que le théorème n’est pas de lui. Un archéologue anglais a découvert sur une tablette babylonienne, qu’un scribe avait consigné une quinzaine de triplets de nombres entiers reliés entre eux par l’équation du fameux théorème, 1000 ans avant Pythagore. On y trouve notamment le triplet 45, 60, 75, équivalent au 32, 42, 52, du célèbre triangle de Pythagore de cotés 3, 4, 5…

Pythagore en revanche, à posé l’équation et l’a liée au caractère rectangle du triangle, et établis le lien entre la longueur des cotés et la nature de l’angle. Les babyloniens possédaient le résultat, mais Pythagore en a donné la démonstration, et c’était bien là pour lui le plus essentiel.

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Cet article est inspiré du roman « Le théorème du perroquet, de Denis Guedj »

À paraître bientôt : Petite histoire des mathématiques 2ème partie : d’Athènes à Alexandrie

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4 réflexions au sujet de « Petite histoire des mathématiques 1ere partie : Thalès et Pythagore, les fondateurs »

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