Petite histoire des mathématiques, 2e partie : D’Athènes à Alexandrie

phare alexandrie Petite histoire des mathématiques, 2e partie : DAthènes à AlexandrieNous sommes au Ve siècle avant JC, quelque part au large de Crotone, en Italie du sud, qui faisait alors partie de la Grande Grèce. Un bateau fait naufrage. À son bord, Hippase de Metaponte, mathématicien et membre de l’école de Pythagore, trouve la mort. Accident où meurtre ? On ne le saura jamais. Hippase, un des premiers et des plus fidèles membre de l’école venait d’être expulsé par les Pythagoriciens, car il avait révélé au monde extérieur un terrible secret : la première démonstration mathématique. Parjure suprême ! D’autant que cette démonstration ébranlait toute la pensée Pythagoricienne, remettant en cause leur vision du monde. Ce naufrage devait marquer le début de la chute de l’école de Crotone.

Géniorama vous propose à travers plusieurs articles une petite histoire non exhaustive des mathématiques, jalonnée par des hommes, leur vie, et ces petites histoires qui écrivent la Grande.

Le paradoxe de la diagonale du carré

Mais quel est donc ce terrible secret dévoilé au monde par Hippase ?

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L'harmonie des Sphères d'après l'école de Pythagore

Il est important de préciser que les Pythagoriciens recherchaient l’Harmonie du monde dans les nombres. Mais pas n’importe quels nombres : Les entiers positifs (1, 2, 3, 4 …), et les fractions, qui sont des rapports d’entiers entre eux. Les nombres négatifs n’existaient pas encore. Le monde des pythagoriciens n’était peuplé que de ce que l’on nomme aujourd’hui les « rationnels ».

Diagonale carr  150x150 Petite histoire des mathématiques, 2e partie : DAthènes à AlexandrieLe scandale est arrivé par l’étude de la diagonale du carré. Si l’on prend le carré de coté 1, quelle est la mesure de sa diagonale ?

On trouve, d’après le théorème de Pythagore, que le carré de la diagonale D2= 2.

Voilà l’information capitale : un nombre, dont le carré est 2. Aucun entier, aucune fraction ne correspondait. Ce nombre existait-il ?

Les pythagoriciens firent alors la démonstration qu’un tel nombre n’existait pas, en utilisant la méthode par l’absurde, montrant qu’alors un nombre devrait être à la fois pair et impair, ce qui est impossible. Ainsi, les grandeurs du coté et de la diagonale d’un carré n’ont aucune commune mesure : si un nombre mesure l’un, aucun nombre ne peut mesurer l’autre, ils sont incommensurables. Pourtant, la figure arbore ces deux grandeurs, coté et diagonale, avec autant de « réalité ». Ceci ébranlait toute la pensée Pythagoricienne, et devait absolument rester secret.

Voilà la révélation qui couta à Hippase de Metaponte sa place parmi ses pairs, et peut-être la vie. Pour les penseurs grecs d’alors, cette démonstration recelait un abime dans lequel sombrèrent leurs certitudes. Le lien indicible entre nombre et grandeur qui établit la cohérence de l’univers pour les Pythagoriciens n’est plus. De plus, ce Chaos était provoqué par une figure emblématique du monde antique : le carré, et comble du comble, la démonstration utilisait 2 des principaux énoncés des pythagoriciens : le théorème de Pythagore, et la séparations des nombres en pairs et impairs !

Alexandrie…

Si ni Thalès ni Pythagore  ne mirent les pieds à Alexandrie lors de leurs voyages en Egypte, c’est que la ville n’existait pas encore. Il est pourtant naturel que nous nous retrouvions à un moment ou à un autre en Egypte. En effet, c’est ici, sur les bords du Nil qu’a été inventée la géométrie. Ramses II avait en effet distribué des parcelles de terres égales à tous, afin que l’impôt soit le même pour tous et donc facile à calculer. Mais c’était sans compter sur les caprices du Nil, dont les crues annuelles amputaient certaines parcelles de terre, un peu plus tous les ans. Il fallu développer des procédés pour mesurer la différence de taille des terres ainsi transformées après chaques crues, et recalculer l’impôt. Ce fut la naissance de la Géo-métrie, la mesure de la terre.

Alexandria Petite histoire des mathématiques, 2e partie : DAthènes à AlexandrieNous avançons donc de quelques siècles, pour nous retrouver vers -330. Alexandrie naquit de la volonté d’Alexandre le grand, qui venait de conquérir l’Egypte. Ville nouvelle, bâtie en quelques années et entièrement conçue sur plan, ses rues ne sont que parallèles et perpendiculaires : une ville géométrique. Cité aux dimensions gigantesques, Alexandrie respire le luxe. Les avenues sont très larges, pavées, les enfilades de colonnes s’élèvent à des hauteurs impressionnantes, surmontées de blocs de marbres ayant nécessités des centaines d’hommes pour le transport de chacun.

Le monde grec tournait alors autours d’Athènes, qui réunissait les philosophes et les savants les plus fameux d’alors. Mais Athènes allait être détrônée. Alexandrie s’apprêtait à devenir le centre du monde intellectuel pour près de sept siècles.

Stratégiquement placée, elle s’étend sur une bande de terre entre la mer et le lac Mariotis. Protégée par l’imposant Pharos dressé sur un ilot aux avants poste des cotes, qui est l’une des sept merveilles du monde. Alexandrie a deux ports, l’un à l’ouest, l’autre à l’est, ce qui permet aux bateaux d’entrer et sortir en sécurité quels que soient le sens du vent. Alexandrie devient alors naturellement une plaque tournante du commerce international. Les bateaux y viennent du monde entier. D’immenses magasins des denrées les plus diverses s’étendent sur des kilomètres de quais.

Ville cosmopolite, Alexandrie compte des Egyptiens, des grecs venus faire fortune, des juifs venus de Palestine, et de nombreux mercenaires désirant tenter leur chance en s’enrôlant dans les armés du roi Ptolémée : Des Scythes, des Thraces, et de terribles Gaulois…

La grande Bibliothèque et le Muséum

Huit ans après la fondation d’Alexandrie, Alexandre le Grand mourut, à l’âge de 33 ans. Un de ses anciens compagnons s’installa sur le trône. Il serait Ptolémée Ier, dit « Soler », le sauveur.

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Alexandrie et ses grandes avenues

« À tous les souverains et gouvernants de la terre, je demande qu’ils envoient dans notre ville d’Alexandrie les œuvres des poètes et prosateurs, des rhéteurs et des sophistes, des médecins et des devins, des historiens et des philosophes… »

Cet appel, appuyé par Ptolémée, avait été rédigé par Démétrios de Phalère. Démétrios était philosophe et politicien. Originaire d’Athènes d’où il avait été chassé suite à un revirement politique. Plein de la hargne de la revanche, il s’était réfugié à Alexandrie où Ptolémée l’avait accueilli, et il avait des projets !

Alors qu’à Athènes Platon avait fondé l’Académie dans les jardins du citoyen Académos, et Théophraste, un élève d’Aristote, avait fondé le Lycée dans un gymnase des environs, Démétrios décida lui aussi de mettre en œuvre le projet aristotélicien d’un savoir universel. Il prendrait sa revanche à Alexandrie, et ceux qu’il l’avaient banni devraient pâlir d’envie devant les deux institutions dont Démétrios fut le fondateur : Le Muséum et la Grande Bibliothèque.

Rassembler dans un même lieu tout le savoir du monde, tel était l’ambition de Démétrios. Le projet fut immédiatement accepté par Ptolémée Ier.

Le succès allait être au rendez-vous et les hommes affluèrent au Muséum, comme les écrits à la Bibliothèque.

Contrairement à l’académie et au Lycée, qui étaient des institutions privées, ne vivant que des cotisations de ses membres, le Muséum était une institution publique bénéficiant des budgets largement accordés par le roi.

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Le muséum d'Alexandrie

Le Muséum est installé au cœur du quartier des palais. Des bâtiments de style grec, entourés de jardins, de fontaines, de nombreuses cours intérieures ombragées. Des salles de travail, calmes et d’autres dédiées aux conversations ou au repos.

Le Muséum regroupait également des collections de peinture, des statues et des animaux rapportés des nombreuses expéditions dans le monde entier. Tout était mis en œuvre pour favoriser l’inspiration et le travail intellectuel.

Les pensionnaires étaient triés sur le volet, choisis exclusivement par le roi. Ils étaient nourris, logés, salariés et exemptés d’impôts ! Mais leur plus grande richesse résidait à la Grande Bibliothèque, dont les murs abritaient la plus grande source de savoir du monde, et leur était accessible de jour comme de nuit.

Pour emplir les rayonnages des près de 400 000 rouleaux de papyrus que comptait la Bibliothèque, les autorités alexandrines lancèrent une chasse sans précédent. Des « chasseurs de livres » se mirent à sillonner les différents états du royaume d’Alexandre, pour acheter à prix d’or tous les livres dignes d’intérêt. S’ils ne parvenaient pas à les acheter, ils les volaient où les extorquaient de force. Tous les bateaux qui accostaient à Alexandrie étaient systématiquement fouillés, cale et bagages des passagers, et tous les manuscrits trouvés étaient saisis et emportés dans les ateliers de la Grande Bibliothèque. Après avoir été étudiés puis recopiés par des scribes, ils étaient rendus à leur propriétaire et la copie allait dans les rayonnages, sauf si l’ouvrage était rare et de valeur, alors on rendait une copie à son propriétaire tandis que les autorités alexandrines conservait l’original…

À l’époque le plus grand rassemblement d’ouvrages se trouvait à Pergame. Mais pour remplir une bibliothèque, il fallait du Papyrus, pour copier les ouvrages. Ptolémée, qui avait le quasi-monopole sur la fabrication de papyrus, dû à la situation géographique et climatologique d’Alexandrie, fit interdire la vente de ce précieux matériau à Pergame, pour prendre le dessus en quantité sur le nombre d’ouvrage détenus.

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Grande Bibliothèque d'Alexandrie - reconstitution

Tout ce que le monde grec avait produit depuis 3 siècles se trouvait dans les rayonnages de la Grande Bibliothèque d’Alexandrie.

Démétrios de Phalère, lui, n’aura pas pu assister à la gloire de SA Bibliothèque. En effet, Ptolémée 1er avait eu plusieurs fils, et Démétrios, toujours très impliqué en politique avait milité pour que l’un d’eux lui succéda sur le trône. Le roi en choisi un autre, et Démétrios fut condamné à mort par le nouveau roi pour avoir fait le mauvais choix ! Il préfèrera se suicider avant que la sentence ne fut mise à exécution. On retiendra qu’il avait dit « les livres ont plus de courage que les courtisans pour dire la vérité aux rois ». Il mourut comme le dernier grand Athéniens.

Ptolémée II monta sur le trône sous le nom de « Phyladelphe« , celui qui aime sa sœur. Il avait, selon la tradition égyptienne, épousé sa sœur Arsinoé, dont on raconte qu’elle était d’une beauté éblouissante. Ils vécurent un amour ardent.

Euclide

Euclide Petite histoire des mathématiques, 2e partie : DAthènes à Alexandrie

Euclide

Mais revenons aux mathématiques ! Un des pensionnaires les plus célèbre du Muséum, fût le mathématicien Euclide. Homme rigoureux, de forte prestance et un peu austère, il livra au monde l’œuvre d’une vie : 13 volumes intitulés « Eléments« .

Un jour que le roi Ptolémée visitait la Bibliothèque, il s’arrêta et passa sa main sur les rayonnages où se trouvaient les nombreux rouleaux des Eléments. Il se retourna alors vers Euclide et lui demanda s’il n’y avait pas une voie plus courte que celle-ci pour entrer dans le monde des mathématiques. Euclide lui répondit « En géométrie, il n’y a pas de chemin réservé aux rois » Il lui aura fallu du courage pour répondre ainsi ! Le roi ne lui en tint pas rigueur.

Un soir, alors qu’il venait d’enseigner un théorème à un élève, fils d’une famille de l’aristocratie alexandrine, celui-ci lui demanda quels profits il allait pouvoir en retirer. Euclide appela un esclave, et s’adressa à lui en ces termes, montrant du doigt le jeune élève : « Donne-lui 3 oboles, puisqu’il lui faut absolument retirer un bénéfice de ce qu’il vient d’apprendre ».

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Euclide enseignant la géométrie Détail de la fresque d'Athène - Rafael

Pour Euclide, les mathématiques étaient une porte vers une connaissance essentielle du monde. Pour en franchir le seuil et commencer à parcourir le chemin qui s’étendait derrière, il ne fallait être ni pressé, ni cupide, fussiez-vous Roi.

Les éléments d’Euclide forment 13 volumes, numérotés de I à XIII, comme pour nous informer qu’ils forment un tout, mais que le contenu de ce tout se déploie suivant un ordre précis.

220px P. Oxy. I 29 Petite histoire des mathématiques, 2e partie : DAthènes à Alexandrie

Les éléments - Original

Cette œuvre colossale est, après la bible, celle qui a eu le plus grand nombre d’éditions, plus de 800 à ce jour. Le succès des Éléments est dû principalement à la présentation logique de la quasi-totalité du savoir mathématique dont Euclide disposait. L’utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d’un jeu réduit d’axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.

La méthode d’Euclide a consisté à baser ses travaux sur des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes), et des propositions (problèmes résolus). Par exemple, le livre I contient 35 définitions (un point est ce dont il n’y a aucune partie, une ligne est une longueur sans largeur, etc.), cinq postulats (Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques, Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite, etc.) et cinq notions ordinaires (Des choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles, le tout est plus grand que la partie, etc.)

frontispice 1 Petite histoire des mathématiques, 2e partie : DAthènes à AlexandrieLe livre I définit les objets de base : le point, la ligne, les angles, les surfaces… Et les cas particuliers (droites parallèles, angle droits, cercle, triangles…) et se termine par une référence : le Théorème de Pythagore.

Les acteurs étant définis, Euclide opère avec eux : séparation d’un angle en deux, calcul des aires… Ainsi, les 4 premiers livres s’occupent de géométrie plane.

Le livre V est parmi les plus importants, c’est le livre des proportions. Euclide cherche là a établir un rapport entre deux grandeurs, quelles soient géométriques, où arithmétiques.

Alors que les Pythagoriciens ne pouvaient envisager un rapport entre deux grandeurs incommensurables, Euclide les englobe dans sa théorie des proportions. Révolutionnaire à l’époque !

elements1 512x1024 Petite histoire des mathématiques, 2e partie : DAthènes à AlexandrieLe livre X, le livre des irrationnels, distance encore plus les Pythagoriciens. Alors que ceux-ci étaient resté coincés à la racine carrée de 2, Euclide définit les incommensurables, et démontre l’irrationalité des racines carrées des entiers jusqu’à 17. (Sauf pour 1, 4, 9 et 16, qui sont des carrés parfaits bien sûr).

Enfin, le livre XIII est le couronnement de l’œuvre entière qui abouti à la construction des 5 polyèdres réguliers inscriptibles dans la sphère : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre, et l’icosaèdre.

Les solides de Platon

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Les solides de Platon

Ce qu’il y a d’exceptionnel avec ces polyèdres, c’est qu’ils ne sont que 5. Dans l’infinité des polyèdres, seul 5 sont réguliers. Alors que les groupes d’objets mathématiques sont en général définit ainsi : soit il y en a aucun, soit un seul, soit une infinité, ceux-ci sont au nombre fini de 5 !

Autant dire que les cerveaux grecs se sont échauffés sur ce constat. Pour Platon, il y en a 5 car il y a 5 éléments fondamentaux dans le cosmos (l’eau, l’air, la terre, le feu et l’esprit, la quintessence). Chaque polyèdre étant là, pour symboliser dans sa perfection chaque élément. Les 5, ensemble, participant de la création du monde et en figurant l’absolue harmonie.

Ainsi, aujourd’hui encore, les 5 polyèdres réguliers sont connus sous le nom de « Solides de Platon ».

La vie au Muséum

Les rois se suivirent ainsi que les prestigieux pensionnaires du Muséum. On notera Apollonios, qui vécut à Alexandrie au IIIe siècle avant notre ère. Il inventa le nom des coniques, dont l’interaction avec un plan permit de découvrir de nouvelles formes : les ellipses, les hyperboles, et les paraboles, qui détrônèrent le cercle dans bien des phénomènes naturels (courbe définie par un boulet de canon, trajectoire des planètes autours du soleil…). Le monde harmonieux et idéal des pythagoriciens se délitait toujours un peu plus devant le constat que tout ne se plaçait pas suivant des sphères, des cercles et des droites…

Sur les 8 livres que comptaient « les coniques » d’Apollonios, seuls 7 furent retrouvés.

Au IIe siècle avant notre ère, il y eu Hipparque, le précurseur de la trigonométrie. Premier à diviser le cercle en 360°. Astronome de talent, il parvint, grâce à une observation minutieuse des astres et un énorme travail à établir des tables de cordes, qui serviront longtemps d’outils mathématiques en astronomie. Grâce à ses tables, il découvrit que l’axe de la terre n’était pas fixe : il se déplaçait le long d’un cercle pour revenir dans la même position tous les 26000 ans : c’est la précession des équinoxes.

La fin d’Alexandrie

Nous en sommes alors rendu à Ptolémée IX. Il n’y eu pas de Ptolémée X, et le XI fut tué dans une émeute.

Ptolémée XII, dit « le flutiste », chassé par les habitants d’Alexandrie, s’enfuit à Rome, d’où il revint avec des armées romaines et reconquis le pays. S’en était fini de l’indépendance de l’Egypte.

413px Cleopatra and Caesar by Jean Leon Gerome Petite histoire des mathématiques, 2e partie : DAthènes à Alexandrie

Cléopâtre et César - par Jean-Léon Gérome

Le flutiste avait décidé que son fils, alors âgé d’une dizaine d’années deviendrait Ptolémée XIII, à condition qu’il se mariât avec sa sœur : la sublime Cléopâtre ! Mais très vite, cela n’allât plus dans ce couple. Cléopâtre s’enfuit et revint avec César à Alexandrie. La population de la ville se révolta et assiégea les deux amants. Pour éviter que sa flotte ne soit capturée, César fit incendier tous les navires du grand port. Le feu se propagea à terre et atteignit la grande Bibliothèque ! Des dizaines de milliers de papyrus furent détruits. Tous les efforts que les premiers bibliothécaires avaient fournis pour réunir les ouvrages étaient réduits en cendre…

La bataille qui s’ensuivit couta la vie à Ptolémée XIII. Cléopâtre, veuve, épousa son autre frère qui devint Ptolémée XIV. Il disparut peu de temps après, sans doute assassiné sur ordre de Cléopâtre, qui suivit alors César à Rome.

Lorsque César fut assassiné à son tour, Cléopâtre retourna à Alexandrie, où elle tomba amoureuse d’un autre général romain : Antoine.

Elle tenait à reconstituer la grande Bibliothèque, symbole de la toute puissance intellectuelle. Antoine pilla la bibliothèque de Pergame, et fit transporter près de 200 000 rouleaux qu’il offrit à Cléopâtre.

Cléopâtre fut la dernière reine d’Egypte. Ensuite le pays sera Romain, puis arabe, turc, français, anglais… Il ne retrouvera son indépendance que 2 millénaires plus tard.

Malgré que les romains s’occupèrent plus de système juridiques que mathématiques, Alexandrie continuera d’abriter de nombreux savant comme Claude Ptolémée (aucun lien avec les rois égyptiens) à qui l’on doit le système géocentrique de l’univers (la terre comme axe du monde), au IIe siècle, ainsi que la première et la seule femme mathématicienne de l’antiquité : Hypatie.

La ville devint chrétienne lorsque les empereurs romains se convertirent. En 642, elle deviendra musulmane avec l’invasion des arabes, et le restera. 3 ans avant l’arrivée des arabes, la plupart des ouvrages avaient à nouveau été brulés lors d’une révolte, c’était la fin de la Grande Bibliothèque. Le Muséum fut fermé un peu plus tard, en 718, par Omar II, qui ordonna aux savants de s’exiler à Antioche.

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Cet article est inspiré du roman « Le théorème du perroquet, de Denis Guedj »


2 réflexions au sujet de « Petite histoire des mathématiques, 2e partie : D’Athènes à Alexandrie »

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